Seberapa Besarkah Bilangan “Tak Hingga”?

Dalam matematika kita mengenal beberapa bilangan yang hanya dapat dibayangkan dan tidak dapat dihitung, seperti akar dari bilangan negatif dan hasil pembagian oleh angka nol. Salah satu bilangan imajiner yang sering digunakan dalam perhitungan matematika adalah bilangan ∞ atau “tak hingga”. Bila luas alam semesta saja dapat dihitung dan dituliskan dalam angka, bagaimana cara membayangkan ukuran dari bilangan tak hingga?

Hilbert’s paradox dapat digunakan untuk mendapatkan sedikit bayangan akan ukuran bilangan tak hingga. Paradoks ini pertama kali dikemukakan oleh David Hilbert, seorang matematikawan Jerman dari tahun 1920’an.

Sebelum masuk ke paradoks Hilbert, mari kita mulai dengan sesuatu yang mudah dahulu. Bayangkan sebuah hotel yang memiliki 100 kamar dan semuanya terisi. Apabila ada seorang tamu yang datang untuk menyewa kamar, tentu saja hal tersebut tidak mungkin. Tamu yang baru tadi hanya akan mendapatkan sebuah kamar apabila manajemen hotel mengusir salah satu penyewa. Dan seterusnya, bila ada dua orang tamu, hotel harus mengusir dua orang penyewa. Seorang programmer akan dengan mudah membuat algoritma matematis yang memberi peringatan pada manajer apabila ada permintaan kamar baru di saat kapasitas hotel sedang penuh.

Nah, dalam paradoks Hilbert kondisinya tidak akan seperti kasus tadi.

Bayangkan sebuah hotel yang memiliki kamar berjumlah tak hingga. I know it’s impossible, but this is for a mathematical theorem sake, so bear with me. Dan sepertinya bisnis sedang sangat menguntungkan, karena jumlah kamar yang tak hingga ini, semuanya dipenuhi oleh penyewa. Ingat, semuanya penuh.

Di sini kita akan melihat perbedaan antara bilangan riil dan bilangan tak hingga.

Andaikan seorang tamu datang ke hotel tersebut dan hendak memesan kamar, apa yang akan terjadi? Manajer hotel tersebut sangat pintar (sebuah syarat utama jika ingin mengelola sebuah hotel dengan jumlah kamar tak hingga). Sang manajer mengatakan bahwa dia akan memberikan kamar bagi sang tamu tersebut. Bagaimana caranya?

Dia dapat menyediakan kamar kosong bagi sang tamu yang baru datang dengan cara mengosongkan kamar 1 dan meminta penghuninya pindah ke kamar 2, lalu meminta tamu di kamar 2 pindah ke kamar 3, tamu di kamar 3 ke kamar 4 dan seterusnya.

Rn = Ro + 1
di mana:
Rn = nomer kamar baru
Ro = nomer kamar lama

Mungkin ada yang bertanya, “lalu apa yang terjadi pada tamu di kamar terakhir?” Di sini lah kekhususan bilangan tak hingga, ia tidak memiliki akhir dan tidak dapat diukur. Karena bila ia dapat diukur, maka ia bukan tak hingga. Sehingga, yang akan terjadi adalah, tamu akan terus berpindah dari satu ruangan ke ruangan sebelahnya tanpa henti. Para penyewa tidak akan pernah kehabisan kamar, karena akan selalu ada kamar dengan nomer lebih besar daripada nomer kamar yang sedang ia tempati. Tak terhingga.

Mungkin contoh tadi masih belum cukup menjelaskan betapa besar ukuran tak hingga. Coba perhatikan kasus berikutnya.

Hotel dengan jumlah kamar tak hingga yang sudah penuh tadi kedatangan tamu dalam jumlah tak hingga pula. Apa yang harus dilakukan oleh sang manajer?

Apakah dia mengusir seluruh penghuni? Sang pemilik hotel (yang kelihatannya pintar memilih lokasi bisnis) tidak mau. Apakah dia meminta para tamu yang baru untuk mulai mengisi mulai dari kamar bernomer ∞ + 1? Ini juga tidak mungkin karena semua kamar sudah penuh dan tidak ada bilangan yang lebih besar dari  ∞.

(area ini sengaja dikosongkan bagi para pembaca yang hendak mencoba menyelesaikan masalah di atas sebelum kita masuk ke penjelasan)

Manajer tadi menggunakan strategi sebelumnya, meminta para penyewa untuk bergeser. Untuk mempercepat proses, karena jumlah tamu yang hendak masuk juga tak hingga, ia meminta para penyewa untuk pindah ke kamar dengan nomer yang berjumlah 2 kali nomer kamarnya.

Rn = Ro * 2
di mana:
Rn = nomer kamar baru
Ro = nomer kamar lama

Yang terjadi adalah, penghuni kamar nomer 1 pindah ke kamar 2, penghuni kamar 2 pindah ke kamar 4, penghuni kamar 3 pindah ke kamar 6. Dari deret tersebut kita dapat melihat bahwa kamar 1, 3, dan 5 akan kosong karena para penyewa pindah ke kamar dengan nomer genap dan menyisakan kamar dengan nomer ganjil. Karena jumlah kamar tak hingga, maka akan tersedia kamar bernomer ganjil dalam jumlah tak hingga pula.

Advertisements

2 thoughts on “Seberapa Besarkah Bilangan “Tak Hingga”?

  1. Pingback: Week 4 Recap #JuliNgeblog | Codes, Colours, Chemistry

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s